人教新课标A版高二数学《选修4-4》三 简单曲线的极坐标方程2. 直线的极坐标方程

发布于:2021-09-23 11:36:36

三 简单曲线的极坐标方程 第2课时 直线的极坐标方程 1.直线的极坐标方程 (1)若直线经过点 M(ρ0,θ0),且极轴到此直线的角为 α, 则直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α. ) (2)当直线 l 过极点,即 ρ0=0 时,l 的方程为θ=α . (3)当直线 l 过点 M(a,0)且垂直于极轴时,l 的方程 为 ρcos θ=a . π (4)当直线 l 过点 M(b, )且*行于极轴时,l 的方程 2 为 ρsin θ=b . 2.图形的对称性 (1)若 ρ(θ)=ρ(-θ),则相应图形关于 极轴对称. π (2)若 ρ(θ)=ρ(π-θ),则图形关于射线 θ=2 所在直线对称. (3)若 ρ(θ)=ρ(π+θ),则图形关于 极点 对称. π 例 1 求从极点出发,倾斜角是 的射线的极坐标方程. 4 思路点拨 将射线用集合表示出来,进而用坐标表示. 解:设 M(ρ,θ)为射线上任意一点(如图),则射线就是集合 ? ? ? π ? ? P= M ∠xOM=4 ? ? ? ? ? ? ? ? π 将已知条件用坐标表示,得 θ= (ρ≥0). 4 ① 这就是所求的射线的极坐标方程.方程中不含 ρ,说明射线上点 π 的极坐标中的 ρ,无论取任何正值,θ 的对应值都是 . 4 求直线的极坐标方程,首先应明确过点M(ρ0,θ0), 且极轴到此直线的角为α的直线极坐标方程的求 法.另外,还要注意过极点、与极轴垂直和*行 的三种特殊情况的直线的极坐标方程. π 1.求过 A(2, )且垂直于极轴的直线的方程. 4 π 解:(1)如图所示,在直线 l 上任意取点 M(ρ,θ),∵A(2, ), 4 π ∴|OH|=2sin = 2. 4 在 Rt△OMH 中,|OH|=|OM|cos θ, ∴ 2=ρcos θ,即 ρcos θ= 2, π ∴过 A(2, )且垂直于极轴的直线方程为 ρcos θ= 2. 4 π 2.设点 A 的极坐标为(2, ),直线 l 过点 A 且与极轴所成的 6 π 角为 ,求直线 l 的极坐标方程. 3 解:设 P(ρ,θ)为直线上任意一点(如图). π π π 则∠α= - = , 3 6 6 π 2π ∠β=π-( -θ)= +θ, 3 3 ρ 2 在△OPA 中,有 = , π 2π sin sin( +θ) 6 3 π 即 ρsin( -θ)=1. 3 π 例 2 在极坐标系中,直线 l 的方程是 ρsin(θ- )=1, 6 π 求点 P(2,- )到直线 l 的距离. 6 思路点拨 将极坐标问题转化为直角坐标问题. π 解:点 P(2,- )的直角坐标为( 3,-1). 6 π 直线 l:ρsin(θ- )=1 可化为 6 π π ρsin θ· cos -ρcos θ· sin =1, 6 6 即直线 l 的直角坐标方程为 x- 3y+2=0. ∴点 P( 3,-1)到直线 x- 3y+2=0 的距离为 | 3+ 3+2| d= 2= 3+1. 1+(- 3) π π 故点 P(2,- )到直线 ρsin(θ- )=1 的距离为 3+1. 6 6 对于研究极坐标方程下的距离及位置关系等 问题,通常是将它们化为直角坐标方程,在 直角坐标系下研究. 3.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线ρ=2sin θ与 ρcos θ=-1的交点的极坐标为________. 【解析】由 ρ=2sin θ,得 ρ2=2ρsin θ, 其直角坐标方程为 x2+y2=2y, ρcos θ=-1 的直角坐标方程为 x=-1, 2 2 ? ?x +y =2y 联立? ? ?x=-1 , ? ?x=-1 解得? ? ?y=1 3π ,点(-1,1)的极坐标为( 2, ). 4 3π 【答案】( 2, ) 4 π 2 7π 4.已知直线的极坐标方程为 ρsin(θ+ )= ,则点 A(2, ) 4 2 4 到这条直线的距离是________. 7π 【解析】点 A(2, )的直角坐标为( 2,- 2). 4 π 2 直线 ρsin(θ+ )= , 4 2 π π 2 即 ρsin θ· cos +ρcos θ· sin = 的直角坐标方程为 4 4 2 2 2 2 x+ y= ,即 x+y=1. 2 2 2 ∴点 A( 2,- 2)到直线 x+y-1=0 的距离为 | 2- 2-1| 2 d= = , 2 1+1 7π π 2 2 故点 A(2, )到直线 ρsin(θ+ )= 的距离为 . 4 4 2 2 2 【答案】 2 谢谢大家!

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