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人教版九年级数学上册 导学案:21.2.3公式法

21.2.3 用公式法解一元二次方程

年级:九年级 科目:数学 课型:新授

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教学目标
1、理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公 式法解一元二次方程.
2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入 ax2+bx+c=0(a≠0) ? 的求根公式的推导公式,并应用公式法解一元二次方程. 重点:求根公式的推导和公式法的应用. 难点:一元二次方程求根公式法的推导. 【课前预习】

导学过程

阅读教材部分,完成以下问题 1、用配方法解下列方程
(1)6x2-7x+1=0 (2)4x2-3x=52

总结用配方法解一元二次方程的步骤: 2、如果这个一元二次方程是一般形式 ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方 法的步骤求出它们的两根?
问 题 : 已 知 ax2+bx+c=0 ( a ≠ 0 ) 试 推 导 它 的 两 个 根 x1= ?b ? b2 ? 4ac 2a

x2= ?b ? b2 ? 4ac 2a

分析:因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把 a、b、c?也当成一个具

体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.

解:移项,得:

,二次项系数化为 1,得

配方,得:



∵a≠0,∴4a2>0,式子 b2-4ac 的值有以下三种情况:

(1) b2-4ac>0,则 b2 ? 4ac >0 4a2

直接开平方,得: ∴x1=

,x2=

即 x= ?b ? b2 ? 4ac 2a

(2) b2-4ac=0,则 b2 ? 4ac =0 此时方程的根为 4a2
ax2+bx+c=0(a≠0)有两个

即一元二次程 的实根。

(3) b2-4ac<0,则 b2 ? 4ac <0,此时(x+ b )2 <0,而 x 取任何实数都不

4a2

2a

能使(x+ b )2 <0,因此方程 2a

实数根。

由上可知,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数 a、b、c 而定,

因此:

(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0,当 b2-4ac≥

0 时,将 a、b、c 代入式子 x= ?b ? b2 ? 4ac 就得到方程的根,当 b2-4ac<0,方 2a
程没有实数根。

(2)x= ?b ? b2 ? 4ac 叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式. 2a

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知,一元二次方程最多有 实数根,也可能有 实根或



实根。

(5)一般地,式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,通常用

希腊字Δ表示它,即Δ= b2-4ac

用公式法解下列方程. (1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0

【课堂活动】 活动 1、预习反馈 活动 2、例习题分析 例 2、用公式法解下列方程. (1)x2-4x-7=0 (2)2x2- 2 2 x+1=0

(3)5x2-3x=x+1

(4)x2+17=8x

练习: 1、在什么情况下,一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根?
有两个相等的实数根? 2、写出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)的求根公式。 3、方程 x2-4x+4=0 的根的情况是( ) A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 有一个实数根 D 没有实数根 4、用公式法解下列方程. (1)2x2-4x-1=0 (2)5x+2=3x2 (3)(x-2)(3x-5)=0 (4)4x2-3x+1=0

(5)x2+x-6=0

(6)x2- 3 x- 1 =0 4

(7)3x2-6x-2=0

(8)4x2-6=0

(9)x2+4x+8=4x+11

(10) x(2x-4)=5-8x

【课堂练习】:
活动 3、知识运用 1、利用判别式判定下列方程的根的情况: (1)2x2-3x- 3 =0 (2)16x2-24x+9=0 (3)x2- 4 2 x+9=0 (4)3x2+10x=2x2+8x
2

2、用公式法解下列方程.

(1)x2+x-12=0

(2)x2- 2 x- 1 =0 4

(3)x2+4x+8=2x+11

(4)x(x-4)=2-8x

(5)x2+2x=0

(6) x2+ 2 5 x+10=0

归纳小结 本节课应掌握: (1)求根公式的概念及其推导过程; (3)应用公式法解一元二次方程;

(2)公式法的概念; (4)初步了解一元二次方程根的情况.

【课后巩固】 一、选择题 1.用公式法解方程 4x2-12x=3,得到( ).

A.x= ?3 ? 6 2

B.x= 3 ? 6 2

C.x= ?3 ? 2 3 2

D.x= 3 ? 2 3 2

2.方程 2 x2+4 3 x+6 2 =0 的根是( ).

A.x1= 2 ,x2= 3 B.x1=6,x2= 2 C.x1=2 2 ,x2= 2 D.x1=x2=- 6
3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,则 m2-n2 的值是( ). A.4 B.-2 C.4 或-2 D.-4 或 2
二、填空题 1.一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是________,条件是________. 2.当 x=______时,代数式 x2-8x+12 的值是-4. 3.若关于 x 的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0 有一根为 0,则 m 的值是 _____. 三、综合提高题 1.用公式法解关于 x 的方程:x2-2ax-b2+a2=0.

2.设 x1,x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,

(1)试推导 x1+x2=- b ,x1·x2= c ;

a

a

(2)求代数式 a(x13+x23)+b(x12+x22)+c(x1+x2)的值.

3、 某数学兴趣小组对关于 x 的方程(m+1) xm2?2 +(m-2)x-1=0 提出了下列问
题. (1)若使方程为一元二次方程,m 是否存在?若存在,求出 m 并解此方程. (2)若使方程为一元二次方程 m 是否存在?若存在,请求出. 你能解决这个问题吗?




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