【四川专用(理)】届高三数学大一轮复*讲义【题库】导数的概念及其运算

发布于:2021-09-23 09:33:22

学*必备 欢迎下载 3.1 导数的概念及其运算 一、选择题 1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+x2,则 f′(1)= () A.-1 B.-2 C.1 D.2 解析:f′(x)=2f′(1)+2x,令 x=1,得 f′(1)=2f′(1)+2, ∴f′(1)=-2. 答案:B 2.设 曲 线 y ? x ? 1 在 点 ( 3 , 2 ) 处 的 切 线 与 直 线 ax ? y ?1 ? 0 垂 直,则 a ? x ?1 ( ) A.2 B. ?2 C. ? 1 2 D. 1 2 答案 B 3.已知 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0=( ). A.e2 B.e C.ln2 2 D.ln 2 解析 f(x)的定义域为(0,+∞), f′(x)=ln x+1,由 f′(x0)=2, 即 ln x0+1=2,解得 x0=e. 答案 B 4.设函数 f(x)是 R 上以 5 为周期的可导偶函数,则曲线 y=f(x)在 x=5 处的切 线的斜率为( ) A.-15 B.0 C.15 D.5 解析 因为 f(x)是 R 上的可导偶函数,所以 f(x)的图象关于 y 轴对称,所以 f(x) 在 x=0 处取得极值,即 f′(0)=0,又 f(x)的周期为 5,所以 f′(5)=0,即曲 线 y=f(x)在 x=5 处的切线的斜率为 0,选 B. 答案 B 5.设 f0(x)=sin x,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,fn+1(x)=f′n(x), 学*必备 欢迎下载 n∈N,则 f2 013(x)等于( ). A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x 解析 ∵f0(x)=sin x,f1(x)=cos x, f2(x)=-sin x,f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,… ∴fn(x)=fn+4(x),故 f2 012(x)=f0(x)=sin x, ∴f2 013(x)=f′2 012(x)=cos x. 答案 C 6.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x),且满足 f(x)=2xf′(1)+ln x,则 f′(1) =( ). A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由 f(x)=2xf′(1)+ln x,得 f′(x)=2f′(1)+1x, ∴f′(1)=2f′(1)+1,则 f′(1)=-1. 答案 B 7.等比数列{an}中,a1=2,a8=4,函数 f(x)=x(x-a1)(x-a2)…(x-a8),则 f′(0) =( ). A.26 B.29 C.212 D.215 解析 函数 f(x)的展开式含 x 项的系数为 a1·a2·…·a8=(a1·a8)4=84=212, 而 f′(0)=a1·a2·…·a8=212,故选 C. 答案 C 二、填空题 8.已知函数 f(x)=f′???π2 ??sin ? x+cos x,则 f???π4 ??=________. ? 解析 由已知:f′(x)=f′???π2 ??cos ? x-sin x. 则 f′???π2 ??=-1,因此 ? f(x)=-sin x+cos x,f???π4 ??=0. ? 答案 0 9.函数 f (x) ? x3 ? ax(x ? R) 在 x ? 1处有极值,则曲线 y ? f (x) 在原点处的切线方 程是 ___ __. 解析 因为函数 f (x) ? x3 ? ax(x ? R) 在 x ? 1处有极值,则 f′(1)=3+a=0,a=-3. 学*必备 欢迎下载 所求切线的斜率为-3,所以切线方程为 y=-3x. 答案 3x+y=0 10.若过原点作曲线 y=ex 的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为 ________. 解析 y′=ex,设切点的坐标为(x0,y0)则yx00=ex0,即exx00=ex0,∴x0=1.因此切 点的坐标为(1,e),切线的斜率为 e. 答案 (1,e) e 11.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的导数 f′(1)=________. 解析 ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ∴x=1 时,f(1)=2f(1)-1+8-8, ∴f(1)=1,即点(1,1),在曲线 y=f(x)上. 又∵f′(x)=-2f′(2-x)-2x+8, x=1 时,f′(1)=-2f′(1)-2+8, ∴f′(1)=2. 答案 2 12.已知 f1(x)=sin x+cos x,记 f2(x)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),…,fn(x) =fn-1′(x)(n∈N*,n≥2),则 f1???π2 ???+f2???π2 ???+…+f2 ?π 012?? 2 ??=________. ? 解析:f2(x)=f1′(x)=cos x-sin x, f3(x)=(cos x-sin x)′=-sin x-cos x, f4(x)=-cos x+sin x,f5(x)=sin x+cos x, 以此类推,可得出 fn(x)=fn+4(x) 又∵f1(x)+f2(x)+f3(x)+f4(x)=0, ∴f1???π2 ???+f2???π2 ???+…+f2012???π2 ???=f1???π2 ???+f2???π2 ???+f3???π2 ???+f4???π2 ??=0. ? 答案:0 三、解答题 13.求下列函数的导数. 学*必备 欢迎下载 (1)y=x2sin x;(2)y=eexx+-11; (

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