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电磁学[赵凯华]答案及解析[第6章麦克斯韦电磁理论]

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1

一平行板电容器的两极板都是半径为

的圆导体片,在充电时,其中电场强

度的变化率为:

。试求: (1) 两极板间的位移电流 的磁感应强度 。

; (2) 极板边缘

解: (1)如图所示,根据电容器极板带电情况,可知电场强度
的方向与 的方向相同) 。 因电容器中为真空,故

的方向水平向右(电位移矢量 。忽略边缘效应,电场只分布

在两板之间的空间内,且为匀强电场。

已知圆板的面积

,故穿过该面积的

的通量为

由位移电流的定义式,得电容器两板间位移电流为



,所以

的方向与

的方向相同,即位移电流的方向与

的方向相同。

(2)由于忽略边缘效应,则可认为两极板间的电场变化率是相同的,则极板间的位移电流是轴 对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。

在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为 向一致,

的圆,其上

的大小相等,选积分方向与



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则由安培环路定理可得

(全电流)

因在电容器内传导电流

,位移电流为

,则全电流为



























根据右手螺旋定则,可知电容器边缘处的磁感应强度

的方向,如图所示。

2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板,面积均为 电荷随时间变化,即 (2) 设

,接于一交流电源时,板上的

。试求: (1) 电容器中的位移电流密度的大小; 。

为由圆板中心到该点的距离,两板之间的磁感应强度分布

解: (1)由题意可知,

,对于平行板电容器电位移矢量的大小为

所以,位移电流密度的大小为

(2)由于电容器内无传导电流,故 求解磁感应强度。

。又由于位移电流具有轴对称性,故可用安培环路



为圆板中心到场点的距离,并以

为半径做圆周路径



根据全电流安培环路定理可知
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通过所围面积的位移电流为

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所以

.

最后可得

3. 如图(a)所示,用二面积为

的大圆盘组成一间距为

的平行板电容器,用两 充电, 点的磁

根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流 试求: (1) 此电容器中位移电流密度; (2) 如图(b)所示,电容器中 感应强度; (3) 证明在此电容器中从半径为 磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。 ﹑厚度为

的圆柱体表面流进的电

解:(1)由全电流概念可知,全电流是连续的。

电容器中位移电流密度

的方向应如图(c)所示,其大小为

通过电源给电容器充电时,使电容器极板上电荷随时间变化,从而使极板间电场发生变化。

因此,也可以这样来求



因为

由于



因此

所以

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(2)由于传导电流和位移电流均呈轴对称,故磁场 圆心在对称轴上的圆,如图(c)所示。

也呈轴对称,显然过

点的

线应为

根据全电流安培环路定理,将

用于此

线上,有



所以

(3)在电容器中作半径为

﹑厚度为

的圆柱体,如图(d)所示。

由坡印廷矢量 壁流入圆柱体内的。

分析可知,

垂直指向圆柱体的侧壁,这表明电磁场的能量是从侧

在单位时间内流入的能量为









由于传导电流和位移电流都不随时间变化, 故磁场和磁场的能量也都不随时间变化。 但电容器中 的电场是随时间增强的,故电场的能量是随时间增加的。图(d)中圆柱体内单位时间内增加的 电场的能量为

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显然,单位时间内流入圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。

4 如图所示,已知电路中直流电源的电动势为

﹑电阻

,电容器的电容 时,

,试求: (1) 接通电源瞬时电容器极板间的位移电流; (2)

电容器极板间的位移电流; (3) 位移电流可持续多长时间。 (通常认为经过 10 倍电 路时间常数 后电流小到可忽略不计)

解: 对

串联电路的暂态过程有

求解该方程得:

, 表示极板上的电荷量是随时间变化。 在电容器内,由上题结论得电容器中的位移电流为

对应不同的情况, 可求得 (1) 在接通电源的瞬时

, 电容器极板间的位移电流



(2)当

时,

( 3 ) 在

时 可 认 为 电 流 忽 略 不 计 , 即

。 所 以

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5 一球形电容器,其内导体半径为 常数为

,外导体半径为

,两极板之间充有相对介电 , 假设

的介质。 现在电容器上加电压, 内球与外球的电压为

不太大,以致电容器电场分布与静电场情形近似相等,试求介质中的位移电流密度以及 通过半径为 的球面的位移电流。

解: 设电容器极板上带有电荷

,由位移电流密度公式可知

由于球形电容器具有球形对称,用电场高斯定理求出球形极板间的电位移矢量为



为径向单位向量)

球形电容器极板间的电势差为

与上式联立,消去

,得

所以位移电流密度为

在电容器中,作半径为

的球面

,通过它的位移电流为

的流向沿径向,且随时间变化。

6 如图所示, 电荷 点处作一半径为

以速度



点运动 (



点的距离以

表示) 。 在

的圆,圆面与

垂直。试求通过该圆面的位移电流和圆周上各点处

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的磁感应强度



解: 电荷在其周围要激发电场,同时由于电荷运动,根据麦克斯韦假设,此时随时间变化的电
场又激发磁场。设 球心, 为半径, 时间穿过圆面上的电位移通量为 为小圆半径的底面,做一球冠,球面上各点的 为使计算简便,可以 为

的大小相等,穿过题意

圆面的电位移通量与穿过球冠的电位移通量相等。即

代入位移电流的定义式,得

取半径为

的圆为积分回路

,由麦克斯韦方程,有

由于

运动沿圆面的轴线,系统具有对称性,所以环路上各点的

大小相等,即


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写成矢量形式有

这正是运动电荷产生的磁场公式。

7 如图所示,由电容为

的电容器和自感系数为

的线圈构成一振荡电 。试求: (1)

路,若忽略线路中的电阻,充电后电容器所带电量的幅值为

充电时电容器两极板间电位差随时间的变化率; (2) 电路中电流随时间的变化率; (3) 电场和磁场能量分别随时间的变化率。

解:在图示中,将开关
的周期性变化。

先后扳向位置 2,1 使电容器充﹑放电,便可在

电路中产生电流

设电路中电荷随时间的变化规律为

则电路中的充﹑放电流为

由于在

电路中,

,所以回路的振荡频率

由题意可知,

所以

代入电容器的电容公式,有

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表明电容器两极板间电压随时间作用周期性变化。 已知电路中电荷变化规律,则有

电容器储存的电场能量为

线圈储存的磁场能量为

整个电路系统的总能量

8.试证明麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。

解: 由麦克斯韦方程
设想闭合曲线缩小为一点,相应地以

( 为边界的曲面

为传导电流) 将变成一个闭合面,在这种情况下有





因此传导电流



代入上式得

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结果表明,如果一个地方没有电荷量的减小,就不可能从那里流出电荷来。这就是电荷守恒定律的数学 表达式,因此麦克斯韦方程组中蕴含了电荷守恒定律。

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