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【专题课件】人教版七年级下册第六章《实数》第一课:算术平方根及比较大小_图文

第六章 实 数
6.1 平方根
第1课时 算术平方根

本次课对算术平方根以及用计算器求解平方根和比较平方根大小等知识点 进行学习理解。掌握算术平方根的非负性,会求非负数的算术平方根。整体 难度中等,适合所有学生。

1.了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算 术平方根;(重点)
2.掌握算术平方根的非负性,会求非负数的算术平方 根.(重点、难点)

导入新课
情境引入

在我校举行的绘画比 赛中,欢欢同学准备了一 些正方形的画布,你能计 算出它们的面积吗?

讲授新课
一 算术平方根 填表: 表1 正方形的边长 正方形的面积

1

2 0.5 2

3

1

4

0. 25

4 9

思考:你能从表1发现什么共同点吗?
已知一个正数,求这个正数的平方,这是 平方运算.

表2
正方形的面积 1 正方形的边长 1

4

0.36 49

2

0.6

7

思考:你能从表2发现什么共同点吗? 已知一个正数的平方,求这个正数.
表一和表二中的两种运算有什么关系?

一、算术平方根的概念 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,
那么这个正数x叫做 a的算术平方根.
练一练
1.因为22=4 ,所以4的算术平方根是_2_; 2.下列说法正确的是 ① .
①5是25的算术平方根. ② 0.01是0.1的算术平方根.

二、数学符号表示

怎么用符号来表示一个数的算术平方根? 平方根号

x2 ? a (x≥0)

互为 逆运算

x?

a

读作:根号a

a的算术平方根

被开方数
(a≥0)

三、算术平方根的性质 合作与交流: 1.一个正数的算术平方根有几个? 一个正数的算术平方根有1个 2.0的算术平方有几个? 0的算术平方根是0.
3.-1有算术平方根吗?负数有算术平方根? 负数没有算术平方根.

典例精析 例1 分别求下列各数的算术平方根:

(1)100, (2)1265, (3) 0.49 .

解:(1)由于102=100,
因此 100 ??10;

(2)由于????

4 5

? ? ??

2=1265



因此

16 ??4 ;
25 5

(3)由于0.72=0.49,

不难看出:被 开方数越大, 对应的算术平 方根也越大.这 个结论对所有 正数都成立.

因此 0.49 ??0.7 .

例2 计算:
(1) 49 ? 2 ? 7 ? 1 ; (2) 4 ? 9 ? 16 .
解:(1)原式=7+3-1=9; (2)原式=2+3-4=1.

二 算术平方根的双重非负性 非负数 a ? 0

a的算术平方根 a

非负数 a ? 0

算术平方根具有双重非负性

练一练
下列各式中哪些有意义?哪些无意义?为什么?
5,? 3, ? 3, ?? 3?2
解: ?3 无意义,因为被开方数不是非负数.
注意:被开方数为非负数.

典例精析
例3 若|m-1| + n ? 3 =0,求m+n的值.
解: 因为|m-1| ≥0, n ? 3≥0,又|m-1| + n ? 3=0, 所以 |m-1| =0, n ? 3=0,所以m=1,n=-3, 所以m+n=1+(-3)=-2.
归纳 几个非负数的和为0,则每个数均为0,现阶段学过 的非负数有绝对值、一个数的平方及算术平方根.

当堂练习
1.填空:(看谁算得又对又快) (1) 一个数的算术平方根是3,则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a,则这个自然数 是_a_2_;和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
(3) 81 的算术平方根为 3 . 81 = 9 (4) 2的算术平方根为___2_.

2.求下列各数的算术平方根:

64

(1)169; (2)

; (3) 0.0001.

49

解:(1)因为132 =169,所以169的算术平方根是13,

即 169 ? 13

(2)因为

??

8

?2 ?

?

64

,所以

? 7 ? 49

64 的算术平方根是
49

8
7,

即 64 ? 8 ;

49 7

(3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方根

是0.01,即 0.0001 ? 0.01.

3.下例 列4 式下列子式表子示表示什什么么意意义义??你你能求能出求它们出的它值们吗?的值吗?

⑴1

⑵9 25

⑶ 22 ⑷ ??3?2 ⑸ 132 ?122

解: 1=1, 9 =3, 25 5 22 =2,

??3?2 =3
132 ?122 =5

拓展提升
(1)已知 | x ? 2 | ? y ? 4 ? 0 ,求 y x 的值; (2)3x-4为25的算术平方根,求x的值.
解:(1)16 ; (2)3.

(1)本节课你学习了哪些知识?
这节课主要学习了算术平方根的概念和表示方法,?知道了求一个正数 的算术平方根与求一个正数的二次幂正好是互逆的过程,因此,求正 数的算术平方根实际上可以转化为求一个数的二次幂运算. 只不过, 只有正数和0才有算术平方根.
(2)在探索知识的过程中,你积累了哪些经验?
? 思维方法:求一个正数的算术平方根运算和开平方求一个正数的 二次幂运算互为逆运算.
? 探究策略:由特殊到一般,再由一般到特殊,是发现问题和解决 问题的基本方法和途径.

第六章 实 数
6.1 平方根
第2课时 用计算器求算术平方根及其大小比较

1.会用计算器求算术平方根; 2.掌握算术平方根的估算及大小比较.(重点)

导入新课

复习引入
1.什么是算术平方根? 2.判断下列各数有没有算术平方根?如果有,请求

出它们的算术平方根.

? ? 25
-36 , 0.09 , 121 , 0 ,

2,

?3 2

.

-只36有没非有负算术数平才方有根算. 术平方根,算术平方根是非负的.

0.09 ? 0.3

25 ? 5 121 11

2
0 ? 0 ??3? ? 3

3.你知道 2 有多大吗? 2的算术平方根是 2 .

讲授新课
一 算术平方根的估算及大小比较 活动:把两个边长为1的小正方形通过剪、拼,得 到一个大正方形,大正方形的边长为 2 ,从而 说明边长为1的小正方形的对角线为 2 .

1

2

2

1

12 1

2有多大呢?
?1? 2是整数吗?如果不是,你知道 2在哪两个
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相邻整数之间?
?2?能使 2的取值范围更加精确吗?
?3?你能算出 2的近似值吗?

因为1.42 ? 1.96,1.52 ? 2.25,1.96 ? 2 ? 2.25,
zxxkw
?1.4 ? 2 ? 1.5;
因为1.412 ? 1.988 1,1.422 ? 2.016 4,1.988 1 ? 2 ? 2.016 4,
?1.41 ? 2 ? 1.42;
因为1.4142 ? 1.999 396, 1.4152 ? 2.002 225, 1.999 396 ? 2 ? 2.002 225,
?1.414 ? 2 ? 1.415; ......
如此下去,可以得到 2 的更精确的近似值.

一、无限不循环小数的概念 事实上,继续重复上述的过程,可以得到

2 ? 1.414 213 562 373......

小数位数无限,且 小数部分不循环

小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为 无限不循环小数.
2 是一个无限不循环的小数

典例精析
例1:估算 19 -2的值 ( B ) A.在1和2之间 B.在2和3之间 C.在3和4之间 D.在4和5之间
解析:因为42<19<52,所以4< 19 <5,所以2< 19 -2<3. 故选B.
归纳 估计一个有理数的算术平方根的近似值,必 须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间

例2 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着 边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片,使它 的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来,正在发愁. 小明见了说:“别发愁,一定能用一块面积大的纸片 裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗?小丽
能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?Z
解:由题意知正方形纸片的边长为20cm. 设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则3有50 就是3× 50

3x ? 2x ? 300 , ?长方形的长为3x ? 3 50 .

x2 ? 50 ,

因为50 ? 49,? 50 ? 7,?3 50 ? 21.

x ? 50 . ?小丽不能裁出符合要求的纸片.

二 用计算器求算术平方根 在估计有理数的算术平方根的过程 中,为方便计算,可借助计算器求 一个正有理数a的算术平方根(或其 近似数).

按键顺序:

a=

二、算术平方根的规律 (1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果 填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
… 0.062 5 0.625 6.25 62.5 625 6 250 62 500 …
… 0.25 0.790 6 2.5 7.906 25 79.06 250 …
规律:被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的 算术平方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数 的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小 数点就向左移动 1 位.

(2)用计算器计算 3(精确到0.001),并利用你在(1) 中发现的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你
能根据 3 的值说出 30 是多少吗?

典例精析

例3 通过估算比较下列各组数的大小:

(1) 5 与1.9;

(2) 6 ?1 与1.5. 2

解:(1)因为5>4,所以 5 >2,所以 5 >1.9.

(2)因为6>4,所以

6 > 2,所以

> 6 ?1 2 ?1 =1.5.

2

2

归纳 比较数的大小,先估计其算术平方根的近似值

当堂练习

1.估计 56 的大小应在(C ).

A.5~6 之间 B.6~7 之间 C.7~8 之间 D. 8~9 之间 2.利用规律计算:已知 2 ? 1.414 , 20 ? 4.472 ,则 0.2 ? 0_._4_4_7_2 . 3. 用计算器计算下列各式的值(精确到 0.01).

0.462 54,

8.

25

解: 0.462 54 ? 0.58

8 ? 0.57 25

4.比较下列各组数的大小. 5.求 19 的近似值(精确到0.0001).

本节课你学习了哪些知识?
开平方运算中的规律: 1.被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的算术平方根
的小数点就向右移动 1 位; 2.被开方数的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根
的小数点就向左移动 1 位.




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