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2016-2017学年高一数学(人教A版)必修4练习第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx φ)的图象Word版含解析

1.5

函 数 y=Asin(ωx+φ) 的 图象

一、A 组
1.把函数 y=cos x 的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标变为原来的 倍,然后将图象沿 x 轴

负方向平移 个单位长度,得到的图象对应的解析式为(

)

A.y=sin 2x C.y=cos

B.y=-sin 2x D.y=cos

解析:y=cos x 的图象上每一点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)得到 y=cos 2x 的图象;

再 把 y=cos 2x 的 图 象 沿 x 轴 负 方 向 平 移

个 单 位 长 度 , 就 得 到 y=cos

2

=cos

的图象.

即 y=-sin 2x 的图象. 答案:B 2.某同学用“五点法”画函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在一个周期内的简图时,列表如下:
ωx+φ 0 π 2π

x y 0 2 0 -2 0

则有(

) B.A=2,ω=3,φ=

A.A=0,ω= ,φ=0

C.A=2,ω=3,φ=-

D.A=1,ω=2,φ=-

解析:由表格得 A=2,

,

∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.
当 x= 时,3x+φ= +φ=0,∴φ=- . 答案:C 3.将函数 f(x)=sin ωx(其中 ω>0)的图象向右平移 个单位长度,所得图象经过点 小值是( A. ) B.1 C. D.2 ,则 ω 的最

解析:把 f(x)=sin ωx 的图象向右平移 个单位长度得 y=sin

的图象.

又所得图象过点

,

∴sin

=0.

∴sin

=0,∴

=kπ(k∈Z).

∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω 的最小值为 2.
答案:D 4.把函数 y=sin 的图象向左平移 个单位,再把所得的函数图象上所有点的纵坐标伸长为 )

原来的 2 倍,横坐标不变,得到函数 g(x)的图象,则函数 g(x)为( A.最大值为 的偶函数 B.周期为 π 的偶函数 C.周期为 2π,且最大值为 2 的函数 D.最大值为 2 的奇函数 解析:y=sin

y=sin

=sin 2x

y=2sin 2x,即 g(x)=2sin 2x,故 g(x)的最大值为 2,周期 T=π,g(x)为奇函数,故选 D. 答案:D 5.(2016· 四川成都石室中学期中)为了得到函数 y=3cos 2x 的图象,只需把函数 y=3sin 的图象上所有的点( )

A.向右平移 个单位长度

B.向右平移 个单位长度

C.向左平移 个单位长度

D.向左平移 个单位长度

解析:函数 y=3cos 2x=3sin

=3sin

,把函数 y=3sin

的图象上所

有的点向左平移 个单位长度,可得函数 y=3cos 2x 的图象. 答案:D 6.把 y=sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标都缩短到原来的 倍,得到 象. 解析:将 y=sin x 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍得 y=sin 3x 的图象,纵坐标再缩短为 的图

原来的 倍得到 y= sin 3x 的图象.

答案:y= sin 3x

7.已知函数 f(x)=sin 将 y=f(x)的图象上 .

(ω>0)的最小正周期为 π,为了得到 g(x)=sin

的图象,只需

解析:∵f(x)的最小正周期为 π,∴ =π.

∴ω=2.∴f(x)=sin

.

又 g(x)=sin

=sin

,

∴ 只 需 将 y=f(x) 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 伸 长 为 原 来 的 4 倍 , 纵 坐 标 不 变 , 得 到
g(x)=sin 的图象.

答案:所有点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变 8. 导学号 08720035 设函数 f(x)=cos ωx(ω>0),将 y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后,所得的图 象与原图象重合,则 ω 的最小值等于 . =cos =cos 的图

解析:将 f(x)的图象向右平移 个单位长度得 g(x)=f 象, 则- ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-6k(k∈Z). 又 ω>0,∴k<0(k∈Z),∴当 k=-1 时,ω 有最小值 6. 答案:6

9.将函数 y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍,纵坐标不变,再向左平移 个单位所

得的曲线是 y= sin x 的图象,试求 y=f(x)的解析式.

解:将 y= sin x 的图象向右平移 个单位得 y= sin

的图象,化简得 y=- cos x.再将 y=- cos x

的图象上的横坐标缩短为原来的 倍(纵坐标不变)得 y=- cos 2x 的图象,所以 f(x)=- cos 2x.

10.(2016· 湖北武汉十一中期末)已知函数 f(x)=3sin

,x∈R.

(1)用五点法作出 y=f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)请说明函数 y=f(x)的图象可以由正弦函数 y=sin x 的图象经过怎样的变换得到. 解:(1)列表:

2x+ 0

π



x

-

f(x) 0 3 0 -3 0

简图如下:

(2)将函数 y=sin x 图象上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的 3 倍得到 y=3sin x 的图象, 再将得到的图象向左平移 个单位长度得到 y=3sin 的图象,最后将得到的图象上所有点

的纵坐标不变,横坐标变为原来的 得到 y=3sin

的图象.

二、B 组
1.给出几种变换: (1)横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变; (2)横坐标缩小到原来的 倍,纵坐标不变;

(3)向左平移 个单位长度;

(4)向右平移 个单位长度;

(5)向左平移 个单位长度;

(6)向右平移 个单位长度.

则由函数 y=sin x 的图象得到 y=sin

的图象,可以实施的方案是(

)

A.(1)→(3) C.(2)→(4)

B.(2)→(3) D.(2)→(5) 的图象可以先平移变换再伸缩变换,即(3)→(2);也可以

解析:由 y=sin x 的图象到 y=sin

先伸缩变换再平移变换,即(2)→(5). 答案:D 2.(2016· 河北唐山一中期末)把函数 y=sin(4x+φ)图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标 不变),再将图象上所有的点向右平移 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则 φ 的一个可能值为 ( A. ) B. C. D.

解 析 : 函 数 y=sin(4x+φ) 图象 上 各点 的 横坐 标伸 长到 原 来的 2 倍 ( 纵 坐标不 变 ) 可 得函 数 y=sin(2x+φ) 的 图 象 , 再 将 图 象 上 所 有 的 点 向 右 平 移 个 单 位 , 可 得 函 数

y=sin

=sin

的图象,若此函数图象关于 y 轴对称,则- +φ=kπ+ ,k∈

Z,所以 φ=kπ+ ,k∈Z,当 k=-1 时,有 φ= .故选 B. 答案:B 3.把函数 y=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π)的图象向左平移 个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长 到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的解析式为 y=3sin x,则( A.ω=2,φ= B.ω=2,φ=)

C.ω= ,φ=

D.ω= ,φ=-





:y=3sin(ωx+φ)





















,





y=3sin

=3sin

的图象 ,再将图象上所有点的横坐标伸长到原

来的 2 倍,得到 y=3sin

=3sin x 的图象,



答案:B 4.函数 y=sin x 的图象上所有点的横坐标和纵坐标同时扩大到原来的 3 倍,再将图象向右平移 3 个单位长度,所得图象的函数解析式为 . 解析:y=sin x y=3sin x y=3sin (x-3)=3sin .

答案:y=3sin

5.先把函数 y=2sin

的图象上的所有点向左平移 个单位长度,再把所有点的横坐标伸

长到原来的 倍,纵坐标不变,得到的图象对应的函数解析式是

.

解 析 : 把 y=2sin

的图象上的所有点向左平移

个单位长度,得函数

y=2sin

=2sin

=2cos 2x 的图象,再把所有点的横坐标伸长到原来的 倍,

纵坐标不变,得到函数 y=2cos 4x 的图象. 答案:y=2cos 4x 6.函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位后,与函数 y=sin φ= . 的图象重合,则

解析:函数 y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图象向右平移 个单位,得平移后的图象对应的函数解析式

为 y=cos

=cos(2x+φ-π), 而 函 数 y=sin

=cos

,由函数

y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π) 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 后 与 函 数 y=sin

的图象重合,得

2x+φ-π=2x+

,解得 φ= ,符合-π≤φ<π,故答案为 .

答案:

7.已知函数 y=

cos

.求:

(1)函数的周期及单调递减区间; (2)函数的图象可由 y=cos x 的图象经过怎样的变换得到? 解:(1)∵ω=2,∴T= =π.

由 2kπ≤2x+ ≤2kπ+π,k∈Z,

得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z.

∴函数的周期为 π,单调递减区间为
,k∈Z.

(2) 将函数 y=cos x 的图象上的所有点向左平移 个单位长度 ,所得图象的函数解析式为

y=cos

, 再 把 所 得 图 象 上 各 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ), 得

y=cos

的图象 , 再把图象上各点的纵坐 标伸长到原来的

倍 ( 横坐标不变 ), 即得

y=

cos

的图象.

8. 导学号 08720036 设函数 f(x)=sin (1)求 ω; (2)若 f ,且 α∈

(ω>0)的最小正周期为 π.

,求 tan α 的值;

(3)完成下面列表,并画出函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 列表:

x0 y -1 1

π

描点连线:

解:(1)∵函数 f(x)=sin

(ω>0)的最小正周期为 π,∴ =π,∴ω=2.

(2)由(1)知,f(x)=sin

.

由f

,得 sin α= ,∴cos α=± .

又- <α< ,∴cos α= ,∴tan α= .

(3)由 y=sin

知:

x0

π

y-

-1 0 1 0 -

故函数 y=f(x)在区间[0,π]上的图象是:



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