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2020Y八年级下期中考试数学试卷含答案 (5)

2020Y 八年级(下)期中数学试卷

一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)若 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( ) A.x>5 B.x≥5C.x≤5D.x≠5 2.(3 分)下列二次根式中,最简二次根式是( )

A. B.

C. D.

3.(3 分)以下列三个正数为三边长度,能构成直角三角形的是( )

A.1,2,3 B.2,2,5 C.2,3, D.4,5,6

4.(3 分)下列不能判定一个四边形是平行四边形的是( )

A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形

B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形

D.对角线互相平分的四边形是平行四边形

5.(3 分)已知(4+ )?a=b,若 b 是整数,则 a 的值可能是( )

A. B.4+

C.8﹣2 D.2﹣

6.(3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,以 AC 为直径的圆恰好过点 B,AB=8,

BC=6,则阴影部分的面积是( )

A.100π﹣24 B.100π﹣48 C.25π﹣24 D.25π﹣48 7.(3 分)如图,矩形 OABC 的边 OA 长为 2,边 AB 长为 1,OA 在数轴上,以 原点 O 为圆心,对角线 OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的 实数是( )
A.2.5 B.2 C. D.

8.(3 分)如图,在矩形 COED 中,点 D 的坐标是(1,3),则 CE 的长是( )
A.3 B. C. D.4 9.(3 分)如图,?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥BC,垂足为 E, AB= ,AC=2,BD=4,则 AE 的长为( )
A. B. C. D. 10.(3 分)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,连接对角线 AC, 以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1,使∠D1AC=60°,连接 AC1,再以 AC1 为边作第 三个菱形 AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…,按此规律所作的第六个菱形的边长为 ()

A.9 B.9 C.27 D.27

二、填空题(本大题共 5 个小题;每小题 3 分,共 15 分.把答案写在题中横线上)

11.(3 分)当 x=

时,代数式

有最小值.

12.(3 分)已知三角形三边长分别为 , , ,则此三角形的最大边上

的高等于



13.(3 分)在△ABC 中,AB=15,AC=13,高 AD=12,则△ABC 的周长为



14.(3 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E、F 分别

是 AO、AD 的中点,若 AB=6cm,BC=8cm,则 EF=

cm.

15.(3 分)如图,点 E、F 是正方形 ABCD 内两点,且 BE=AB,BF=DF,∠EBF=

∠CBF,则∠BEF 的度数



三、解答题(本大题共 7 个小题,共 55 分.解答应写出证明过程或演算步骤) 16.(8 分)计算: (1) ﹣( )﹣1+ ( ﹣1)﹣20180﹣| ﹣2|. (2)如图,在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 16cm2 和 12cm2 的两张正 方形纸片,求图中空白部分的面积.
17.(6 分)如图,在?ABCD 中,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧交 AD 于点 F, 再分别以点 B、F 为圆心,大于 BF 的相同长为半径画弧,两弧交于点 P;连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF. (1)根据以上尺规作图的过程,证明四边形 ABEF 是菱形; (2)若菱形 ABEF 的边长为 4,AE=4 ,求菱形 ABEF 的面积.

18.(6 分)如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使 CE=BD,连结 AE,如果∠ ADB=30°,求∠E 的度数.

19.(6 分)为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图中的 AB 所在的直 线上建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点 C 和点 D 处,CA⊥AB 于 A, DB⊥AB 于 B.已知 AB=2.5km,CA=1.5km,DB=1.0km,试问:图书室 E 应该建在 距点 A 多少 km 处,才能使它到两所学校的距离相等?

20.(8 分)阅读理解:

对于任意正整数 a,b,∵( ﹣ )2≥0,∴a﹣2 +b≥0,∴a+b≥2 ,

只有当 a=b 时,等号成立;结论:在 a+b≥2 (a、b 均为正实数)中,只有

当 a=b 时,a+b 有最小值 2 .

根据上述内容,回答下列问题:

(1)若 a+b=9, ≤



(2)若 m>0,当 m 为何值时,m+ 有最小值,最小值是多少?

21.(9 分)我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”,下面我们来探 究两类特殊的勾股数.通过观察完成下面两个表格中的空格(以下 a、b、c 为 Rt△ABC 的三边,且 a<b<c): 表一

a

b

c

3

4

5

5

12

13

7

24

25

9

41

表二

a

b

c

6

8

10

8

15

17

10

24

26

12

41

(1)仔细观察,表一中 a 为大于 1 的奇数,此时 b、c 的数量关系是

,a、

b、c 之间的数量关系是



(2)仔细观察,表二中 a 为大于 4 的偶数,此时 b、c 的数量关系是

,a、

b、c 之间的数量关系是



(3)我们还发现,表一中的三边长“3,4,5”与表二中的“6,8,10”成倍数关系,

表一中的“5,12,13”与表二中的“10,24,26”恰好也成倍数关系……请直接利用

这一规律计算:在 Rt△ABC 中,当 , 时,斜边 c 的值.

22.(12 分)如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,∠CAB 的平分线分别交 BD、BC 于 E、F,作 BH⊥AF 于点 H,分别交 AC、CD 于点 G、P,连结 GE、GF. (1)求证:△OAE≌△OBG. (2)试问:四边形 BFGE 是否为菱形?若是,请证明;若不是,请说明理由.

八年级(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3 分)若 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是( ) A.x>5 B.x≥5C.x≤5D.x≠5 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案. 【解答】解:由题意可知:x﹣5≥0, ∴x≥5 故选:B. 【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意 义的条件,本题属于基础题型.

2.(3 分)下列二次根式中,最简二次根式是( )

A. B.

C. D.

【分析】根据最简二次根式的定义求解即可. 【解答】解:A、被开方数含能开得尽方的因数或因式,故 A 不符合题意; B、被开方数含能开得尽方的因数或因式,故 B 不符合题意; C、被开方数含分母,故 C 不符合题意; D、被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式,故 D 符合题意; 故选:D. 【点评】本题考查最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:被开 方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式.

3.(3 分)以下列三个正数为三边长度,能构成直角三角形的是( ) A.1,2,3 B.2,2,5 C.2,3, D.4,5,6 【分析】根据勾股定理的逆定理可知,当三角形中三边的关系为:a2+b2=c2 时,

则三角形为直角三角形. 【解答】解:A、12+22≠32,不符合勾股定理的逆定理,不能组成直角三角形, 故选项错误; B、22+22≠52,不符合勾股定理的逆定理,不能组成直角三角形,故选项错误; C、22+32=( )2,符合勾股定理的逆定理,能组成直角三角形,故选项正确; D、42+52≠62,不符合勾股定理的逆定理,不能组成直角三角形,故选项错误. 故选:C. 【点评】此题考查的知识点是勾股定理的逆定理,解答此题要用到勾股定理的逆 定理:已知三角形 ABC 的三边满足:a2+b2=c2 时,则三角形 ABC 是直角三角形.解 答时,只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方.

4.(3 分)下列不能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】根据平行四边形的判定:①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形;③两组对角分别相等的四边形是平 行四边形;④对角线互相平分的四边形是平行四边形;⑤一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形,即可选出答案. 【解答】解:根据平行四边形的判定定理,A、B、D 均符合是平行四边形的条件, C 则不能判定是平行四边形. 故选:C. 【点评】此题主要考查学生对平行四边形的判定的掌握情况.对于判定定理:“一 组对边平行且相等的四边形是平行四边形.”应用时要注意必须是“一组”,而“一 组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形.

5.(3 分)已知(4+ )?a=b,若 b 是整数,则 a 的值可能是( )

A. B.4+

C.8﹣2 D.2﹣

【分析】根据分母有理化的法则进行计算即可. 【解答】解:因为(4+ )?a=b,b 是整数, 可得:a=8﹣2 , 故选:C. 【点评】此题考查分母有理化问题,关键是根据分母有理化的法则进行解答.
6.(3 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B=90°,以 AC 为直径的圆恰好过点 B,AB=8, BC=6,则阴影部分的面积是( )

A.100π﹣24 B.100π﹣48 C.25π﹣24 D.25π﹣48 【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长,进而可得出以 AC 为直径的圆的面积, 再根据 S 阴影=S 圆﹣S△ABC 即可得出结论. 【解答】解:∵Rt△ABC 中∠B=90°,AB=8,BC=6,

∴AC=

=

=10,

∴AC 为直径的圆的半径为 5,

∴S 阴影=S 圆﹣S△ABC=25π﹣ ×6×8=25π﹣24.

故选:C. 【点评】本题考查的是勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长 的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键.

7.(3 分)如图,矩形 OABC 的边 OA 长为 2,边 AB 长为 1,OA 在数轴上,以 原点 O 为圆心,对角线 OB 的长为半径画弧,交正半轴于一点,则这个点表示的 实数是( )

A.2.5 B.2 C. D.

【分析】本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系(勾股定理)解答 即可. 【解答】解:由勾股定理可知,

∵OB=



∴这个点表示的实数是 . 故选:D. 【点评】本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法,解 决本题的关键是根据勾股定理求出 OB 的长.

8.(3 分)如图,在矩形 COED 中,点 D 的坐标是(1,3),则 CE 的长是( )

A.3 B. C. D.4 【分析】根据勾股定理求得 OD= ,然后根据矩形的性质得出 CE=OD= . 【解答】解:∵四边形 COED 是矩形, ∴CE=OD, ∵点 D 的坐标是(1,3),

∴OD=

=,

∴CE= , 故选:C. 【点评】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用,熟练掌握矩形的性质是解 题的关键.

9.(3 分)如图,?ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AE⊥BC,垂足为 E, AB= ,AC=2,BD=4,则 AE 的长为( )

A. B. C. D.

【分析】由勾股定理的逆定理可判定△BAO 是直角三角形,所以平行四边形 ABCD 的面积即可求出. 【解答】解:∵AC=2,BD=4,四边形 ABCD 是平行四边形,

∴AO= AC=1,BO= BD=2,

∵AB= , ∴AB2+AO2=BO2, ∴∠BAC=90°,

∵在 Rt△BAC 中,BC=

=

=

S△BAC= ×AB×AC= ×BC×AE,

∴ ×2= AE,

∴AE=



故选:D. 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质,能得出△BAC 是直 角三角形是解此题的关键.

10.(3 分)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,连接对角线 AC, 以 AC 为边作第二个菱形 ACC1D1,使∠D1AC=60°,连接 AC1,再以 AC1 为边作第 三个菱形 AC1C2D2,使∠D2AC1=60°;…,按此规律所作的第六个菱形的边长为 ()

A.9 B.9 C.27 D.27 【分析】先求出第一个菱形和第二个菱形的边长,得出规律,根据规律即可得出 结论. 【解答】解:连接 BD 交 AC 于 O,连接 CD1 交 AC1 于 E,如图所示: ∵四边形 ABCD 是菱形,∠DAB=60°, ∴ACD⊥BD,∠BAO= ∠DAB=30°, OA= AC, ∴OA=AB?cos30°=1× = , ∴AC=2OA= , 同理 AE=AC?cos30°= ? = ,AC1=3=( )2,…, 第 n 个菱形的边长为( )n﹣1, ∴第六个菱形的边长为( )5=9 ; 故选:B.
【点评】本题考查了菱形的性质、含 30°角的直角三角形以及锐角三角函数的运 用;根据第一个和第二个菱形的边长得出规律是解决问题的关键.

二、填空题(本大题共 5 个小题;每小题 3 分,共 15 分.把答案写在题中横线上)

11.(3 分)当 x=

时,代数式

有最小值.

【分析】根据二次根式的有意义的条件即可求出答案. 【解答】解:∵4x﹣5≥0,

∴x≥

当 x= 时, 的最小值为 0,
故答案为: 【点评】本题考查二次根式,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本 题属于基础题型.

12.(3 分)已知三角形三边长分别为 , , ,则此三角形的最大边上

的高等于



【分析】根据勾股定理的逆定理,△ABC 是直角三角形,利用它的面积:斜边×

高÷2=短边×短边÷2,就可以求出最长边的高.

【解答】解:∵ 2+ 2= 2,

∴根据勾股定理的逆定理,△ABC 是直角三角形,最长边是 2 ,

设斜边上的高为 h,则

S△ABC= × × = × h,

解得:h= , 故答案为 . 【点评】本题考查了二次根式的应用,关键是根据勾股定理的逆定理和利用三角 形的面积公式求高进行解答.

13.(3 分)在△ABC 中,AB=15,AC=13,高 AD=12,则△ABC 的周长为 32 或 42 . 【分析】在 Rt△ABD 中,利用勾股定理可求出 BD 的长度,在 Rt△ACD 中,利用

勾股定理可求出 CD 的长度,由 BC=BD+CD 或 BC=BD﹣CD 可求出 BC 的长度,再 将三角形三边长度相加即可得出△ABC 的周长.

【解答】解:在 Rt△ABD 中,BD=

=9;

在 Rt△ACD 中,CD=

=5,

∴BC=BD+CD=14 或 BC=BD﹣CD=4, ∴C△ABC=AB+BC+AC=15+14+13=42 或 C△ABC=AB+BC+AC=15+4+13=32. 故答案为:32 或 42.

【点评】本题考查了勾股定理以及三角形的周长,利用勾股定理结合图形求出 BC 边的长度是解题的关键.
14.(3 分)如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,点 E、F 分别 是 AO、AD 的中点,若 AB=6cm,BC=8cm,则 EF= 2.5 cm.

【分析】根据勾股定理求出 AC,根据矩形性质得出∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD, 求出 BD、OD,根据三角形中位线求出即可. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD, ∵AB=6cm,BC=8cm,

∴由勾股定理得:BD=AC=

=10(cm),

∴DO=5cm, ∵点 E、F 分别是 AO、AD 的中点,

∴EF= OD=2.5cm, 故答案为:2.5. 【点评】本题考查了勾股定理,矩形性质,三角形中位线的应用,关键是求出 OD 长.
15.(3 分)如图,点 E、F 是正方形 ABCD 内两点,且 BE=AB,BF=DF,∠EBF= ∠CBF,则∠BEF 的度数 45° .

【分析】连接 CF,根据正方形的性质可得出 AB=BC=CD、∠BCD=90,结合 BF=DF、 CF=CF 即可利用全等三角形的判定定理 SSS 可证出△BCF≌△DCF,进而可得出∠ BCF=45°,由 BE=AB 利用替换法可得出 BE=BC,结合∠EBF=∠CBF、BF=BF 利用全 等三角形的判定定理 SAS 可证出△BEF≌△BCF,从而得出∠BEF=∠BCF=45°,此 题得解. 【解答】解:连接 CF,如图所示. ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴AB=BC=CD,∠BCD=90.

在△BCF 和△DCF 中,



∴△BCF≌△DCF(SSS), ∴∠BCF=∠DCF= ∠BCD=45°. ∵BE=AB, ∴BE=BC.

在△BEF 和△BCF 中,



∴△BEF≌△BCF(SAS), ∴∠BEF=∠BCF=45°.

故答案为:45°.

【点评】本题考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质,利用全等三角 形的判定定理证出△BCF≌△DCF、△BEF≌△BCF 是解题的关键.
三、解答题(本大题共 7 个小题,共 55 分.解答应写出证明过程或演算步骤) 16.(8 分)计算: (1) ﹣( )﹣1+ ( ﹣1)﹣20180﹣| ﹣2|. (2)如图,在长方形 ABCD 中无重叠放入面积分别为 16cm2 和 12cm2 的两张正 方形纸片,求图中空白部分的面积.

【分析】(1)根据实数的混合计算解答即可;

(2)根据正方形的面积求出两个正方形的边长,从而求出 AB、BC,再根据空白

部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解.

【解答】解:(1)原式=

(2)∵两张正方形纸片的面积分别为 16cm2 和 12cm2,

∴它们的边长分别为





∴AB=4cm,BC=



∴空白部分的面积=



【点评】本题考查了二次根式的应用,算术平方根的定义,解题的关键在于根据 正方形的面积求出两个正方形的边长.

17.(6 分)如图,在?ABCD 中,以点 A 为圆心,AB 长为半径画弧交 AD 于点 F,

再分别以点 B、F 为圆心,大于 BF 的相同长为半径画弧,两弧交于点 P;连接 AP 并延长交 BC 于点 E,连接 EF. (1)根据以上尺规作图的过程,证明四边形 ABEF 是菱形; (2)若菱形 ABEF 的边长为 4,AE=4 ,求菱形 ABEF 的面积.

【分析】(1)先证明△AEB≌△AEF,推出∠EAB=∠EAF,由 AD∥BC,推出∠EAF= ∠AEB=∠EAB,得到 BE=AB=AF,由此即可证明; (2)连结 BF,交 AE 于 G.根据菱形的性质得出 AB=4,AG= AE=2 ,再根据 勾股定理求出 FG,可得 BF 的长,根据根据菱形面积公式计算即可; 【解答】解:(1)在△AEB 和△AEF 中,

∴△AEB≌△AEF, ∴∠EAB=∠EAF, ∵AD∥BC, ∴∠EAF=∠AEB=∠EAB, ∴BE=AB=AF. ∵AF∥BE, ∴四边形 ABEF 是平行四边形, ∵AB=BE, ∴四边形 ABEF 是菱形;

(2)如图,连结 BF,交 AE 于 G. ∵菱形 ABEF 的边长为 4,AE=4 , ∴AB=BE=EF=AF=4,AG= AE=2 ,AE⊥BF,

∴∠AGF=90°,GF=

=2,

∴BF=2GF=4, ∴菱形 ABEF 的面积= ?AE?BF= ×

×4=8 .

【点评】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图﹣基本作图等知 识,解题的关键是全等三角形的证明,解直角三角形,属于中考常考题型.
18.(6 分)如图,延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E,使 CE=BD,连结 AE,如果∠ ADB=30°,求∠E 的度数.
【分析】连接 AC,根据题意可得 AC=BD=CE,则∠CAE=∠E,由 AD∥BC 可得∠ E=∠DAE 则∠DAC=2∠E,且∠DAC=∠ADB,即可求解 【解答】解:连接 AC,
∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BE,AC=BD,且∠ADB=∠CAD=30°, ∴∠E=∠DAE, 又∵BD=CE, ∴CE=CA, ∴∠E=∠CAE, ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE=2∠E=30°, ∴∠E=15°. 【点评】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的性质,关键是灵活运用矩形的性

质解决问题.
19.(6 分)为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图中的 AB 所在的直 线上建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点 C 和点 D 处,CA⊥AB 于 A, DB⊥AB 于 B.已知 AB=2.5km,CA=1.5km,DB=1.0km,试问:图书室 E 应该建在 距点 A 多少 km 处,才能使它到两所学校的距离相等?

【分析】根据题意表示出 AE,EB 的长,进而利用勾股定理求出即可. 【解答】解:由题意可得:设 AE=xkm,则 EB=(2.5﹣x)km, ∵AC2+AE2=EC2,BE2+DB2=ED2,EC=DE, ∴AC2+AE2=BE2+DB2, ∴1.52+x2=(2.5﹣x)2+12, 解得:x=1. 答:图书室 E 应该建在距点 A1km 处,才能使它到两所学校的距离相等. 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用,得出 AC2+AE2=BE2+DB2 是解题关键.

20.(8 分)阅读理解: 对于任意正整数 a,b,∵( ﹣ )2≥0,∴a﹣2 +b≥0,∴a+b≥2 , 只有当 a=b 时,等号成立;结论:在 a+b≥2 (a、b 均为正实数)中,只有 当 a=b 时,a+b 有最小值 2 . 根据上述内容,回答下列问题:

(1)若 a+b=9, ≤



(2)若 m>0,当 m 为何值时,m+ 有最小值,最小值是多少? 【分析】(1)根据 a+b≥2 (a、b 均为正实数),进而得出即可; (2)根据 a+b≥2 (a、b 均为正实数),进而得出即可. 【解答】解:(1)∵a+b≥2 (a、b 均为正实数),

∴a+b=9,则 a+b≥2 ,即 ≤ ; 故答案为: ;

(2)由(1)得:m+ ≥2



即 m+ ≥2,当 m= 时,m=1(负数舍去),

故 m+ 有最小值,最小值是 2. 【点评】此题主要考查了二次根式的应用,根据题意结合 a+b≥2 为正实数)求出是解题关键.

(a、b 均

21.(9 分)我国古籍《周髀算经》中早有记载“勾三股四弦五”,下面我们来探 究两类特殊的勾股数.通过观察完成下面两个表格中的空格(以下 a、b、c 为 Rt△ABC 的三边,且 a<b<c): 表一

a

b

c

3

4

5

5

12

13

7

24

25

9

41

表二

a

b

c

6

8

10

8

15

17

10

24

26

12

41

(1)仔细观察,表一中 a 为大于 1 的奇数,此时 b、c 的数量关系是 b+1=c ,

a、b、c 之间的数量关系是 a2=b+c ;

(2)仔细观察,表二中 a 为大于 4 的偶数,此时 b、c 的数量关系是 b+2=c ,

a、b、c 之间的数量关系是 a2=2(b+c) ; (3)我们还发现,表一中的三边长“3,4,5”与表二中的“6,8,10”成倍数关系, 表一中的“5,12,13”与表二中的“10,24,26”恰好也成倍数关系……请直接利用
这一规律计算:在 Rt△ABC 中,当 , 时,斜边 c 的值.
【分析】(1)根据表中的数得出规律即可; (2)根据表中的数得出规律即可; (3)根据 32+42=52 得出答案即可. 【解答】解:(1)当 a 为大于 1 的奇数,b、c 的数量关系 b+1=c,a、b、c 之间 的数量关系是 a2=b+c, 故答案为:b+1=c,a2=b+c;

(2)当 a 为大于 4 的偶数,此时 b、c 的数量关系是 b+2=c,a、b、c 之间的数 量关系是 a2=2(b+c), 故答案为:b+2=c,a2=2(b+c);

(3)∵32+42=52,





∴c=1. 【点评】本题考查了勾股数的应用,能根据表中的数据得出规律是解此题的关键.

22.(12 分)如图,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O,∠CAB 的平分线分别交 BD、BC 于 E、F,作 BH⊥AF 于点 H,分别交 AC、CD 于点 G、P,连结 GE、GF. (1)求证:△OAE≌△OBG. (2)试问:四边形 BFGE 是否为菱形?若是,请证明;若不是,请说明理由.

【分析】(1)由正方形的性质得出 OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°,再由角的互余 关系证出∠OAE=∠OBG,由 ASA 即可证明△OAE≌△OBG; (2)先证明△AHG≌△AHB,得出 GH=BH,由线段垂直平分线的性质得出 EG=EB, FG=FB;再证出∠BEF=∠BFE,得出 EB=FB,因此 EG=EB=FB=FG,即可得出结论. 【解答】(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴OA=OB,∠AOE=∠BOG=90°. ∵BH⊥AF, ∴∠AHG=∠AHB=90°, ∴∠GAH+∠AGH=90°=∠OBG+∠AGH, ∴∠GAH=∠OBG, 即∠OAE=∠OBG.

∴在△OAE 与△OBG 中,



∴△OAE≌△OBG(ASA);

(2)解:四边形 BFGE 为菱形;理由如下:

在△AHG 与△AHB 中,



∴△AHG≌△AHB(ASA), ∴GH=BH, ∴AF 是线段 BG 的垂直平分线, ∴EG=EB,FG=FB. ∵∠BEF=∠BAE+∠ABE=67.5°,∠BFE=90°﹣∠BAF=67.5°, ∴∠BEF=∠BFE, ∴EB=FB, ∴EG=EB=FB=FG, ∴四边形 BFGE 是菱形; 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线 的性质、菱形的判定;熟练掌握正方形的性质,并能进行推理论证是解决问题的

关键.




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